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Blog do Professor Alexandre


Frações

Elementos históricos sobre frações

 

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Introdução ao conceito de fração

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.

Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

  • Você concorda com esta divisão? Por quê?

  • Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?

  • O que você acha desta frase: "Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte".

Elementos gerais para a construção de frações

Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.

O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.

Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.

Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }

Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.

Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.

Definição de fração

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

Numerador
Denominador

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:

1
4

Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

1/41/4
1/41/41

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.

Leitura de frações

(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:

Fração1/21/31/41/51/61/71/81/9
Leituraum meioum terçoum quartoum quintoum sextoum sétimoum oitavoum nono

(b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.


FraçãoLeitura
1/11um onze avos
1/12um doze avos
1/13um treze avos
1/14um quatorze avos
1/15um quinze avos
1/16um dezesseis avos
1/17um dezessete avos
1/18um dezoito avos
1/19um dezenove avos

(c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10

Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

FraçãoLeituraLeitura Comum
1/10um dez avosum décimo
1/20um vinte avosum vigésimo
1/30um trinta avosum trigésimo
1/40um quarenta avosum quadragésimo
1/50um cinqüenta avosum qüinquagésimo
1/60um sessenta avosum sexagésimo
1/70um setenta avosum septuagésimo
1/80um oitenta avosum octogésimo
1/90um noventa avosum nonagésimo
1/100um cem avosum centésimo
1/1000um mil avosum milésimo
1/10000um dez mil avosum décimo milésimo
1/100000um cem mil avosum centésimo milésimo
1/1000000um milhão avosum milionésimo

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.



Escrito por Professor Alexandre às 15h22
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A Matemática e o Campo de Futebol

A Matemática e o Campo de Futebol

 

A matemática muitas vezes deixa os alunos uma impressão de ser uma disciplina muito abstrata, prejudicando o aprendizado do aluno.

A matemática deve ser ensinada de uma forma que motive o aluno, isto é, aplicando além da teoria o uso da prática.

Vamos falar um pouco sobre o uso da matemática em especial o da geometria para estudar as metragens e as medidas do campo de futebol.

Ex: Perímetro = 2 x ( b + h ) ou a soma de todos os lados.

2 x (110+75)= 370 m  ou

110+110+75+75= 370 m.

 

Vamos calcular a área do campo de futebol, sabendo que as dimensões são de 110 m x 75 m:

Área = Base x Altura ( A= b x h), onde b= comprimento e h = largura

Área do campo = 110 m x 75 m

Área do campo = 8250 m²

Isto é, o campo de futebol possui 8250 m² de área.

 

Agora, sabemos a área do campo, então podemos calcular a área que cada jogador pode ocupar em campo,  sendo que o campo possui 22 jogadores:

 

Área do campo = 8250 m²

Número de jogadores = 22

Área cada jogador = 8250 m² / 22

Área cada jogador = 375 m²

Cada jogador pode ocupar a área de 375 m².

 

Sabendo que as medidas das traves são de 7,32 m de largura e 2,44 m de altura, vamos calcular a área que o goleiro tem que defender:

Área= b x h, onde b= comprimento e h = largura

Área do gol= 7,32 m x 2,44 m

Área do gol @ 17,86 m² 

O goleiro tem que defender a área de aproximadamente 17,86 m²

 

Podemos também calcular a área da grande área, onde o goleiro pode trabalhar com as mãos.

A metragem da área possui 16,5 m de comprimento e 40,3 m de largura. Agora podemos calcular:

Área da grande área = b x h, onde b= comprimento e h = largura

Área da grande área = 16,5 m x 40,3 m

Área da grande área = 664,95 m²

A área que o goleiro pode trabalhar com as mãos é 664,95 m².

Calcularemos a área do círculo central. O raio de círculo central que é de 9,15 m, então o diâmetro que é duas vezes o raio é de 18,30 m.

Segue abaixo o cálculo do círculo central:

Área do círculo central =  P x raio ²

Diâmetro= 18,30

P = 3,14 (pi)

Raio = diâmetro / 2 => 18,30 / 2 = 9,15 m

Área do círculo central = 3,14 x (9,15 m )²

Área do circulo central @ 262,88 m²

Então o círculo central possui uma área de aproximadamente de 262,88 m².

 



Escrito por Professor Alexandre às 09h05
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